Taller de Matemáticas: 2012

64. Fármacos

64. Fármacos Cuando se administró cierto fármaco a un paciente, el número de miligramos que permanecen en el torrente sanguíneo del paciente después de t horas se modela mediante

¿Cuántos miligramos del fármaco permanecen en el torrente sanguíneo del paciente después de tres horas?

Desarrollo:

R/ Después de tres horas pertenecen 27,4405 miligramos de fármaco en un paciente.

65. Decaimiento radiactivo

65. Decaimiento radiactivo Una sustancia radiactiva se desintegra de tal manera que la cantidad de masa que permance después de t días se expresa mediante la función

donde m(t) se mide en kilogramos.
a) Encuentre la masa en el tiempo t = 0
b) ¿Cuánta masa permanece después de 45 días?

Desarrollo:

a) En el tiempo 0 la masa es de 13 kg

b) Después de 45 permanece 6,6190kg

66. decaimiento radiactivo Los médicos emplean el yodo radiactivo como trazador para diagnosticas ciertos trastornos de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de tal manera que la masa restante despues de t días se determina mediante la función

donde m(t) se mide en kilogramos.

a) Encuentre la masa en el tiempo t = 0

b) ¿Cuánta masa permanece después de 45 días?

Desarrollo:

a) La masa en el tiempo 0 es de 6 gramos.

b) Después de 20 días la masa es de 1,53 gramos.

67. Paracaidismo

67. Paracaidismo Un paracaidista salta desde una altura razonable sobre el suelo. La resistencia del aire que experimenta es proporcional a su velocidad, y la constante de proporcionalidad es 0.2. Se puede demostar que la velocidad de descenso del paracaidista en el tiempo t se expresa como

donde t se mide en segundos y v(t) se mide en pies por segundo (pies/s).

a) Encuentre la velocidad inicial del paracaidista.

b) Calcule la velocidad después de de 5s y después de 10s.

c) Dibuje la gráfica de una función de velocidad v(t).

d)La velocidad máxima de un objeto que cae con resistencia del viento se llama velocidad terminal. De la gráfica del inciso c) encuentre la velocidad terminal de este paracaidista.

Desarrollo:

a) La velocidad inicial del paracaidista es 0.

b) La velocidad después de 5s es 50,6 pies y después de 10s es de 69,2 pies.

d) La velocidad final del paracaidista es 80 pies/s

68. Mezclas y concentraciones

68. Mezclas y concentraciones Un barril de 50 galones se llena por completo con agua pura. A continuación se bombea hacia el barril agua salada con una concentración de 0.3 lb/gal, y la mezcla resultante sale a si misma tasa. La cantidad de sal en el barril en el tiempo t se determina mediante:

Donde t se mide en minutos y Q(t) se mide en libras.

a) ¿Cuánta sal esta en el barril después de 5 min?

b) ¿Cuánta sal esta en el barril después de 10 min?

c) Dibuje una grafica de función Q(t).

d) Use la grafica del inciso
c) para determinar el valor a que se aproxima la cantidad de sal en el barril cuando t se vuelve grande. ¿es esto lo que esperaría?

Desarrollo:

a) En el barril hay 2,719037052 sal después de 5 min.

b) En el barril hay 4,945196604 sal después de 10 min.

d) Si, esto es lo que esperaría porque cuando t se vuelve grande, es decir a medida de que va pasando el tiempo, la cantidad de sal en el barril va incrementando.

69. Crecimiento logístico

69. Crecimiento logístico Las poblaciones animales no pueden crecer sin restricción debido a la limitación de hábitat y suministros de alimento. En tales condiciones la población siguiente un modelo de crecimiento logístico.

Donde c, d y k son constantes positivas. Para cierta población de peces, en un pequeño estanque

d = 1200, k = 11, c = 0.2, y t se mide en años. Los peces se introdujeron en el estanque en el tiempo

t = 0.

a) ¿Cuántos peces se colocaron originalmente en el estanque?

b) ¿Calcule la población después de10, 20 y 30 años.

c) Evalúe P(t) para valores grandes de t. ¿A qué valor tiende la población cuando t → ∞? ¿La grafica

mostrada confirma sus cálculos?

Desarrollo:

a) Originalmente, en el estanque se colocaron 100 peces.

b) Población después de 10 años: 482,1813657

Población después de 20 años: 998,7743625

Población después de 30 años: 1168,148806

c) El valor que tiende la población cuando t →∞ es 1200.

70. La población de aves

70. La población de aves La población de cierta especie de ave está limitada por el tipo de hábitat requerido para anidar. La población se comporta de acuerdo con el modelo de crecimiento logístico

Donde t se mide en años.

a) Encuentre la población inicial de aves.

b) Dibuje la grafica de la función n(t).

c) ¿Qué tamaño tiene la población cuando el tiempo avanza?

Desarrollo:

La población inicial de las aves es 200.

c) Como la grafica lo muestra, a medida que va pasando el tiempo la población de aves aumenta.

71. Diametro de un árbol

71. Diámetro de un árbol Para cierto tipo de árbol el diámetro D (en pies) depende de la edad del árbol t (en años) de acuerdo con el modelo de crecimiento logístico

Determine el diámetro de un árbol de 20 años.

Desarrollo:

R/ El diámetro de un árbol a los 20 años es de 1,600322671 pies.

78. Absorción de luz

78. Absorción de luz Un espectrofotómetro mide la concentración de una muestra disuelta en agua al irradiar una luz por ésta y registrar la cantidad de luz que emerge. En otras palabras, si se conoce la cantidad de luz absorbida, se puede calcular la concentración en la muestra. Para cierta sustancia, la concentración (en moles/litro) se encuentra por medio de la fórmula

Donde I0 es la intensidad de la luz incidente e I es la intensidad de luz que emerge. Encuentre la concentración de la sustancia si la intensidad es I es 70% de I0.

Desarrollo:

R/ La concentracion de la sustancia si la intensidad es 70% , es de 891,68736 moles/litro

79. Fechado con carbono

79. Fechado con carbono La edad de un objeto antiguo se puede determinar por la cantidad de carbono 14 radioactivo que permanece en él. Si D0 es la cantidad original de carbono 14 y D es la cantidad restante, entonces la edad A del objeto (en años) se determina por